Математика для экономистов: оптимизация

Преподаватель:
Отдел:
Факультет экономики
Программа:
МА «Финансовая экономика»; MA «Исследовательская экономика»; MA «Экономика человека»

Описание курса

В данном курсе подробно рассматривается теория оптимизации — исследование задач на максимум и минимум, а также моделирование экономических процессов с помощью таких задач. Студенты узнают, что (почти) любую экономическую проблему можно свести к оптимизационной задаче, а любой результат объяснить решением правильно выбранной оптимизационной задачи. Студенты научатся качественному анализу решения задач на максимум и минимум, с особым вниманием к экономической интерпретации необходимых условий первого порядка. В процессе изучения курса студенты освоят решение задач одномерной и многомерной оптимизации с ограничениями и без них, разберутся с теорией множителей Лагранжа, выпуклым анализом, многоцелевой оптимизацией и теоремой Куна-Таккера.

 

Программа курса

Тема 1. Постановка и классификация задач математического программирования

  • Постановка задач математического программирования
  • Классификация задач математического программирования
  • Оптимизационные задачи в экономике
  • Безусловная и условная оптимизации целевой функции

 

Тема 2. Задача об оптимальном распределении ресурса

  • Задача об оптимальном распределении ресурса
  • Необходимые и достаточные условия оптимума
  • Оптимальность и равновесие в модели распределения ресурса
  • Агрегирование и оптимальность
  • Геометрическая интерпретация задачи оптимального распределения ресурса

 

Тема 3. Линейное программирование

  • Задачи линейного программирования в экономике
  • Геометрические интерпретации задач линейного программирования
  • Двойственные оценки и условия оптимальности
  • Двойственная задача линейного программирования
  • Теоремы двойственности в линейном программировании

 

Тема 4. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа

  • Теорема об обратной функции
  • Теорема о неявной функции
  • Множители Лагранжа
  • Условия регулярности
  • Теорема об огибающей
  • Экономическая интерпретация множителей Лагранжа

 

Тема 5. Выпуклый анализ

  • Выпуклые множества
  • Выпуклые оболочки
  • Теоремы об отделимости
  • Выпуклые и вогнутые функции
  • Условия выпуклости и вогнутости для гладких функций
  • Квазивыпуклые и квазивогнутые функции

 

Тема 6. Эффективность и оптимальность по Парето

  • Эффективность и слабая эффективность
  • Необходимые и достаточные условия слабой эффективности на выпуклых множествах
  • Многокритериальная оптимизация
  • Оптимальность по Парето и слабая оптимальность по Парето
  • Необходимые и достаточные условия слабой оптимальности по Парето для задач многокритериальной оптимизации при вогнутых целевых функциях

 

Тема 7. Теорема Куна–Таккера

  • Теоремы Куна–Таккера для задач выпуклого программирования
  • Роль условия Слейтера
  • Теоремы Куна–Таккера для гладких задач
  • Различные версии условий регулярности 

 

Литература

  • Carter M. Foundations of Mathematical Economics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2001.
  • Klein M. Mathematical Methods for Economics. New York: Pearson Education Limited, 2014.
  • Sydsæter K., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. London: Pearson Education Limited, 2012.
  • Sydsæter K., Hammond P., Seierstad A., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. London: Pearson Education Limited, 2008.