Описание курса
В данном курсе подробно рассматривается теория оптимизации — исследование задач на максимум и минимум, а также моделирование экономических процессов с помощью таких задач. Студенты узнают, что (почти) любую экономическую проблему можно свести к оптимизационной задаче, а любой результат объяснить решением правильно выбранной оптимизационной задачи. Студенты научатся качественному анализу решения задач на максимум и минимум, с особым вниманием к экономической интерпретации необходимых условий первого порядка. В процессе изучения курса студенты освоят решение задач одномерной и многомерной оптимизации с ограничениями и без них, разберутся с теорией множителей Лагранжа, выпуклым анализом, многоцелевой оптимизацией и теоремой Куна–Таккера.
Ориентировочная программа курса
Тема 1. Постановка и классификация задач математического программирования
- Постановка задач математического программирования
- Классификация задач математического программирования
- Оптимизационные задачи в экономике
- Безусловная и условная оптимизации целевой функции
Тема 2. Задача об оптимальном распределении ресурса
- Задача об оптимальном распределении ресурса
- Необходимые и достаточные условия оптимума
- Оптимальность и равновесие в модели распределения ресурса
- Агрегирование и оптимальность
- Геометрическая интерпретация задачи оптимального распределения ресурса
Тема 3. Линейное программирование
- Задачи линейного программирования в экономике
- Геометрические интерпретации задач линейного программирования
- Двойственные оценки и условия оптимальности
- Двойственная задача линейного программирования
- Теоремы двойственности в линейном программировании
Тема 4. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа
- Теорема об обратной функции
- Теорема о неявной функции
- Множители Лагранжа
- Условия регулярности
- Теорема об огибающей
- Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
Тема 5. Выпуклый анализ
- Выпуклые множества
- Выпуклые оболочки
- Теоремы об отделимости
- Выпуклые и вогнутые функции
- Условия выпуклости и вогнутости для гладких функций
- Квазивыпуклые и квазивогнутые функции
Тема 6. Эффективность и оптимальность по Парето
- Эффективность и слабая эффективность
- Необходимые и достаточные условия слабой эффективности на выпуклых множествах
- Многокритериальная оптимизация
- Оптимальность по Парето и слабая оптимальность по Парето
- Необходимые и достаточные условия слабой оптимальности по Парето для задач многокритериальной оптимизации при вогнутых целевых функциях
Тема 7. Теорема Куна–Таккера
- Теоремы Куна–Таккера для задач выпуклого программирования
- Роль условия Слейтера
- Теоремы Куна–Таккера для гладких задач
- Различные версии условий регулярности
Литература
- Carter M. Foundations of Mathematical Economics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2001.
- Klein M. Mathematical Methods for Economics. New York: Pearson Education Limited, 2014.
- Sydsæter K., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. London: Pearson Education Limited, 2012.
- Sydsæter K., Hammond P., Seierstad A., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. London: Pearson Education Limited, 2008.