Исследование выполено совместно с John Rust (Georgetown University), Dennis Kristensen (University College London), и Bertel Schjerning (University Of Copenhagen).
In this paper, we develop a robust algorithm for computing the “full solution” maximum-likelihood estimator of a particular class of dynamic stochastic games with multiple equilibria, namely directional dynamic games. Our method allows for multiple equilibria having been played in data without making any assumptions on the equilbirium selection rule. It is based on Rust’s 1987 Nested Fixed Point (NFXP) maximum likelihood estimator, but uses the Recursive Lexicographic Search (RLS) algorithm Iskhakov, Rust and Schjerning (2016) within the “the inner loop” of NFXP to solve for all Markov perfect equilibria (MPE) of the game at each evaluation ofthe likelihood function. Until recently, the NFXP approach have generally not been possible to implement for dynamic games with multiple equilibria since no algorithm was guaranteed to find all MPE. RLS provides this capability for directional dynamic games. We find that the full solution method that combines NFXP and RLS (NRLS), to be remarkably robust, computational fast and able to both obtain efficient MLE of the structural parameters and at the same time identify the equilibrium selection played in the data (out of millions of potential MPEs). Moreover, NRLS allows us to relax assumptions for the equilibrium selection rules to allow for different equilibria to be played at different markets without much additional computational cost.
25 января в стенах Европейского университета в Санкт-Петербурге в рамках исследовательского семинара имени С. Л. Печерского Федор Исхаков (Australian National University) представил совместную с Джоном Растом (Georgetown University), Деннисом Кристенсеном (University College London) и Бертелем Шьернингом (University of Copenhagen) работу «Structural estimation of dynamic directional games with multiple equilibria».
На написание данной работы авторов мотивировала ситуация на австралийском рынке картонных коробок, который представлен только двумя крупными производителями. Сама по себе картонная коробка является достаточно стандартным товаром, и основополагающим фактором для покупателя при выборе фирмы-производителя является только её цена. Поэтому когда производители не договариваются между собой о цене на товар, на рынке устанавливается цена, равная издержкам на производство товара. При такой цене фирма-производитель не получает для себя никакой прибыли. Но можно предположить, что фирмы могут сокращать свои издержки благодаря инвестиционным вложениям в технологии производства. Если первая фирма инвестирует в новую технологию, которая поможет снизить издержки, то эта фирма получит выгоду, в точности равную величине, на которую она сократила свои расходы, так как рыночная цена равна издержкам второй фирмы. Таким образом, ситуацию на этом рынке можно представить в виде динамической инвестиционной игры по Бертрану, в которой есть два участника (фирмы-производители) и две стратегии — либо сделать инвестиционное вложение и сократить стоимость производства в следующий период, либо не инвестировать и оставить издержки на производство неизменными. При этом снижение издержек на производство товара зависит от уровня технологического прогресса, который считается экзогенным и стохастическим. Последнее предположение является разумным приближением к реальности, в силу невозможности точно предсказать влияние технологии на величину изменения издержек.
В каждый момент времени фирмы одновременно и независимо друг от друга устанавливают цены на товар, а кроме того каждая фирма решает для себя вопрос о том, что ей выгоднее сейчас сделать — инвестировать в снижение издержек или воздержаться от инвестирования. При этом каждая фирма максимизирует свою ожидаемую дисконтированную прибыль на бесконечном горизонте планирования. Разумеется, стратегия каждой фирмы (инвестиционная функция) должна учитывать решения фирмы-конкурента об инвестировании и ценообразовании. Даже если ограничивать набор стратегий фирм и рассматривать только те их них, которые полностью определяются текущей ситуацией и не зависят от предыстории игры, — иначе говоря, искать только марковские совершенные равновесия (Markov perfect equilibria, далее МСР), — всё равно данная задача сводится к огромной системе нелинейных уравнений, которая в общем случае имеет множество различных решений (МСР).
До недавних пор не существовало ни одного алгоритма, который бы гарантированно находил хотя бы одно МСР в подобных стохастических играх, не говоря уж о том, чтобы найти и охарактеризовать все равновесия. Авторы работы предложили быстрый и устойчивый алгоритм, который позволяет это сделать. Их подход к решению данной сложной задачи заключается в следующем. Сначала множество всех состояний в игре делится на конечное число связанных зон. Внутри каждой зоны можно найти решения игры методом обратной индукции, а затем объединить полученные решения и получить полное множество МСР исходной стохастической игры. Авторы доказывают, что их алгоритм обладает очень важным свойством — если можно найти все МСР в каждой зоне по отдельности и их количество конечно, то для исходной стохастической игры все МСР будут найдены за конечное число шагов, равных количеству МСР, без дополнительно сделанных предположений. Более простым языком можно сказать так — если большую задачу разбить на много маленьких, решения для которых можно найти, то и решение большой задачи будет найдено.
Использование такого алгоритма дало возможность изучить свойства равновесий в динамической игре по Бертрану. Авторы установили, что если затраты на инвестиции не слишком велики, то как минимум одна фирма делает инвестиционные вложения во всех МСР. Было также показано, что достаточные условия единственности МСР включают в себя строгую монотонность технического прогресса. Авторы работы утверждают, что найденные решения являются эффективными, в том числе из-за особенностей алгоритма, позволяющих не рассматривать решения, которые показывают свою неэффективность на ранних стадиях.
Алёна Попова