Математика для экономистов: динамика

Описание курса

Курс знакомит студентов с математическими методами исследования динамических процессов, в том числе — применительно к экономическим задачам. Студенты узнают, как правильно математически описывать и исследовать такие процессы, как установление равновесной цены на рынке, экономический рост, динамику популяции. Студенты познакомятся с методами определения устойчивости равновесия в экономических моделях и поймут, как начальные условия могут влиять на результат и приводить к тому, что одни страны — богатые, а другие — бедные. В процессе изучения курса студенты знакомятся с линейными и нелинейными уравнениями, системами уравнений, применением фазовых диаграмм в микро- и макроэкономических моделях для выявления характера и анализа устойчивости положений равновесия непрерывных и дискретных динамических систем.

Ориентировочная программа курса

Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия). Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия). Линейные однородные уравнения (определение и общие свойства). Линейные однородные и неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема 2. Введение в теорию устойчивости движения, описываемого обыкновенными дифференциальными уравнениями

• Основные определения (невозмущенное и возмущенное движения, определение Ляпунова). Геометрическая интерпретация устойчивости и асимптотической устойчивости. Некоторые вспомогательные сведения из линейной алгебры. Уравнения возмущенного движения. Устойчивость по первому приближению. Критерий устойчивости Рауса–Гурвица. Устойчивость линейных автономных систем. Теоремы об устойчивости движения системы. Типы стационарных точек на плоскости. Численный и аналитический подходы.

Тема 3. Применение дифференциальных уравнений и их систем в моделях экономической динамики. Исследование устойчивости равновесий в моделях с непрерывным временем

• Модель установления равновесной цены. Модель экономического роста Солоу. Динамика популяций. Мальтузианский подход к описанию динамики популяций. Модель ограниченного роста популяции. Конкуренция между видами при отсутствии эффекта переполнения. Модель «хищник–жертва» при отсутствии эффекта переполнения (модель Вольтерра–Лотка). Модель конкурирующих видов с логистической поправкой. Модель «хищник–жертва» при наличии эффекта переполнения. Исследование устойчивости положений равновесия для конкретных примеров нелинейных автономных систем второго порядка

Тема 4. Обыкновенные разностные уравнения

• Основные определения. Линейные обыкновенные разностные уравнения. Структура общего решения. Определитель Казоратти. Однородные и неоднородные линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Примеры решения разностных уравнений. Системы обыкновенных разностных уравнений

Тема 5. Введение в теорию устойчивости движения, описываемого разностными уравнениями. Исследование устойчивости равновесий в экономических моделях с дискретным временем

• Основные определения. Аналогии с исследованием движения систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Устойчивость линейных автономных систем. Исследование устойчивости равновесий в экономических моделях с дискретным временем. Динамическая модель Кейнса с дискретным временем. Модель Самуэльсона–Хикса с дискретным временем. Модель Баумоля–Вольфа

Литература

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: МЦНМО, 2012.
• Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Лань, 2011.
• Полякова Е. В. Математика для экономистов: динамика. СПб.: Изд-во ЕУСПб, 2013.
• Прасолов А. В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в экономике и инженерии. СПб.: Лань, 2010.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в 3 т. Том 3. СПб.: Лань, 2009.
• Chiang A. C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1984.
• Romer D. Advanced Macroeconomics, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 2001.
• Shone R. Economic Dynamics: Phase Diagrams and their Economic Application. New York: Cambridge University Press, 1997.
• Takayama A. Mathematical Economics, 2nd ed. New York: Cambridge University Press, 1997.